El objetivo de la asignatura es familiarizar al alumnado con las técnicas y nociones básicas de la Topología General. En primer lugar se pretende que el alumnado conozca las distintas maneras de definir un espacio topológico utilizando técnicas como bases y subbases de abiertos, sistemas de entornos y sistemas de entornos básicos. En este primer tema se presta particular atención al estudio de los espacios métricos. A continuación se estudian temas básicos de Topología General como continuidad de funciones, construcción de espacios topológicos derivados (productos y cocientes), compacidad y conexión.



La asignatura persigue que el alumnado inicie su conocimiento en topología, estudiando las estructuras básicas necesarias en muchas otras asignaturas del área de Geometría y Topología y también del Análisis Matemático.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS



M02CM11 - Conocer y asimilar los conceptos, métodos y resultados básicos (con sus demostraciones) de los espacios topológicos y métricos.

M02CM12 - Conocer y saber utilizar los conceptos de continuidad, compacidad y conexión.

M02CM13 - Reconocer las estructuras topológicas en ejemplos concretos.

M02CM14 - Construir ejemplos de espacios topológicos usando las nociones de subespacio topológico, espacio producto y espacio cociente.

M02CM15 - Utilizar la convergencia de sucesiones para estudiar continuidad y compacidad.



RESULTADOS DE APRENDIZAJE



- Reconocer las estructuras topológicas en ejemplos concretos.

- Construir ejemplos de espacios topológicos usando las nociones de subespacio topológico, espacio producto y espacio cociente.

- Utilizar la convergencia de sucesiones para estudiar continuidad y compacidad.

1. ESPACIOS TOPOLÓGICOS: Topología. Conjuntos abiertos y cerrados. Base y subbase de una topología. Entornos. Bases de entornos. Distancia. Espacios métricos. Bolas abiertas y cerradas.



2. CONJUNTOS EN ESPACIOS TOPOLÓGICOS: Interior de un conjunto. Clausura de un conjunto. Puntos de acumulación y puntos aislados. Conjunto derivado. Frontera de un conjunto.



3. CONTINUIDAD: Aplicaciones continuas. Homeomorfismos. Propiedades topológicas. Sucesiones en espacios métricos: convergencia y continuidad secuencial.



4. CONSTRUCCIÓN DE ESPACIOS TOPOLÓGICOS: Subespacios. Aplicaciones combinadas. Embebimientos. Topología producto. Proyecciones. Topología cociente. Identificaciones.



5. COMPACIDAD: Espacios y conjuntos compactos. Productos de espacios compactos. Compacidad secuencial. Compacidad en espacios Hausdorff.



6. CONEXIÓN Y CONEXIÓN POR CAMINOS: Espacios y conjuntos conexos. Componentes conexas. Caminos en un espacio topológico. Conexión por caminos. Componentes conexas por caminos.

Usando la metodología de lección magistral, en las sesiones magistrales se expondrá el contenido teórico, siguiendo las referencias básicas que figuran en la Bibliografía y el material de uso obligatorio.

Estas clases magistrales se complementarán con clases de problemas realizadas en las sesiones de prácticas de aula. En éstas se tratarán cuestiones en las que se aplicarán los conocimientos adquiridos en las clases teóricas.

Finalmente, en las sesiones de seminarios el estudiante tomará un papel más activo y desarrollará cuestiones y ejemplos representativos del contenido de la asignatura.

• Sistema de Evaluación Continua
• Sistema de Evaluación Final
• Herramientas y porcentajes de calificación:
  • Ver ORIENTACIONES (%): 100

EVALUACIÓN CONTINUA



Examen escrito. (Peso: %70-%85)

Criterios:

- Precisión en los razonamientos y en las definiciones.

- Correcta utilización del lenguaje matemático.

- Método correcto de razonamiento, explicando de una manera clara y ordenada los argumentos y pasos intermedios.



Seminarios (Peso: %5-%10)

Criterios:

- Respuestas correctas y buena utilización del lenguaje matemático.

- Claridad en los argumentos.

- En las exposiciones orales, orden y precisión.



Resolución de problemas escritos (Peso: %10-%20)

Criterios:

- Respuestas correctas y buena utilización del lenguaje matemático.

- Claridad en los argumentos.

- En la entrega de problemas, orden y precisión.



EVALUACIÓN FINAL (en caso de renunciar a la evaluación continua)



Examen escrito: 100%

Examen escrito: 100%

Apuntes de clase. Relaciones de ejercicios y problemas propuestos.

Bibliografía básica

Teoría



R. AYALA, E. DOMINGUEZ y A. QUINTERO; Elementos de Topología General, Addison-Wesley Iberoamericana, 1997.

J. R. MUNKRES; Topología, Prentice Hall, 2002.

S. WILLARD; General Topology, Dover Publications Inc, 2004.



Problemas



G. FLEITAS MORALES Y MARGALEF ROIG, Problemas de Topología General, Alhambra, 1980.

G. FLORY; Ejercicios de Topología y Análisis, Reverté, 1978.

E.G. MILEWSKI, Problem solvers. Topology, Research & Education Association, 1994.

Bibliografía de profundización

I. ADAMSON; A General Topology Workbook, Birkhäuser, 1995.
E. BURRONI y J. PENON; La géometrie du caoutchouc. Topologie, Ellipses, 2000.
L. A. STEEN y J. A. SEEBACH; Counterexamples in Topology, Dover, 1995.
O. YA. VIRO, O. A. IVANOV, N. YU. NETSVETAEV y V. M. KHARLAMOV; Elementary Topology. Problem Textbook, AMS, 2008.

Revistas

Americal Mathematical Monthly

Direcciones web

Topology without tears
http://www.topologywithouttears.net/

Topology Atlas
http://at.yorku.ca/topology/