En esta asignatura se presenta la Teoría de la probabilidad en el contexto de la Teoría de la medida y los principios de la Teoría de los procesos estocásticos. De esta forma, se completa la formación básica adquirida por el estudiante en la asignatura Cálculo de probabilidades en el Segundo curso del grado al realizar un desarrollo sólido y sistemático de los principios, resultados y aplicaciones de la Teoría de la probabilidad.



Esta asignatura junto con las asignaturas Programación matemática y Análisis multivariante forman el Módulo M14 del Grado en Matemáticas denominado Ampliación de Estadística e Investigación Operativa. El objetivo de este módulo es proporcionar conocimientos y técnicas de probabilidad, estadística e investigación operativa para que el estudiante adquiera una formación básica y horizontal de estas materias que le permita comprender y aplicar tales conocimientos y habilidades en múltiples direcciones interrelacionadas. Estas tres asignaturas se pueden desarrollar de manera independiente.



Las siguientes asignaturas que se cursan en primero, segundo y tercer curso del grado son requisitos deseables a la hora de cursar la presente asignatura: Cálculo de probabilidades, Medida e integración, Análisis complejo y Cálculo Diferencial e Integral I y II.

COMPETENCIAS

M14CM01.- Conocer en profundidad los conceptos y resultados del cálculo de probabilidades, la estadística y la programación matemática.

M14CM03.- Usar correctamente la terminología relacionada con los fenómenos aleatorios, el análisis de datos y la optimización de funciones lineales.

M14CM04.- Modelizar correctamente situaciones típicas relativas a fenómenos aleatorios y el tratamiento de datos.

M14CM06.- Seleccionar correctamente la técnica de análisis adecuada, en función del objetivo que se persigue en el estudio de esas situaciones.

M14CM07.- Realizar correctamente los cálculos y/o visualizaciones gráficas que requieran tales situaciones, utilizando los recursos teóricos y/o computacionales apropiados.

M14CM08.- Interpretar con sentido crítico los resultados de los análisis realizados.



RESULTADOS DE APRENDIZAJE

Saber plantear, resolver e interpretar problemas de cálculo de probabilidades y procesos estocásticos.

1. ESPACIOS DE PROBABILIDAD: probabilidad y medida, espacios de probabilidad, probabilidad condicional, independencia de sucesos y de colecciones de sucesos.

2. VARIABLES ALEATORIAS: funciones medibles, distribución de probabilidad, independencia de variables aleatorias.

3. ESPERANZA: la esperanza como integral, propiedades, momentos, desigualdades principales.

4. FUNCIONES CARACTERÍSTICAS: concepto y propiedades principales, derivadas y momentos, fórmulas de inversión, identificación de funciones características.

5. CONVERGENCIA: modos de convergencia de variables aleatorias, relaciones mutuas, principales leyes fuertes y débiles de grandes números, convergencia de series aleatorias, el teorema central del límite y sus generalizaciones.

6. ESPERANZA CONDICIONAL: concepto y propiedades principales, martingalas, convergencia de martingalas.

7. PROCESOS ESTOCÁSTICOS: cadenas de Markov, otros procesos estocásticos, fundamentos de la teoría de procesos.

En las clases magistrales se exponen, desarrollan e ilustran los conceptos y resultados teóricos fundamentales.

En las clases de problemas se muestran los aspectos prácticos de la teoría expuesta en las clases magistrales. También se pueden utilizar para asignar tareas a realizar, mostrar las pautas para su realización y/o exponer algunos trabajos.

En los seminarios el estudiante tomará un papel más activo y deberá demostrar la destreza adquirida hasta ese momento en las competencias trabajadas. Dependiendo de la sesión, se realizarán diferentes actividades, como por ejemplo, se expondrán las tareas teóricas y/o prácticas que se le encargan, se realizarán trabajos individuales o en grupo, se resolverán problemas, ...

• Sistema de Evaluación Continua
• Sistema de Evaluación Final
• Herramientas y porcentajes de calificación:
  • Ver orientaciones (%): 100

ORIENTACIONES PARA LA EVALUACIÓN CONTINUA:

La evaluación de la asignatura consistirá en exposiciones y entrega de trabajos de teoría y/o de resolución de problemas y en la realización de varias pruebas escritas. Concretamente:

Prueba escrita parcial: 25%.

Resolución de problemas en clase, entrega y presentación de problemas propuestos y/o trabajos de teoría, participación en seminarios y tutorías: 20%.

Prueba escrita final: 55%.



La prueba escrita parcial y la prueba escrita final son de carácter obligatorio. En ambas es necesario obtener al menos un 4 sobre 10.



La valoración del 20% de resolución de problemas en clase, entrega y presentación de problemas propuestos y/o trabajos de teoría, participación en seminarios y tutorías será de entrega opcional, siempre teniendo en cuenta que, si se ha elegido la evaluación continua, la no entrega/realización/presentación implicará la pérdida automática de este porcentaje en la nota.



El estudiante que no se presente a la prueba escrita final que se realiza en la fecha de la Convocatoria ordinaria será evaluado como "No presentado".



El/la estudiante que no quiera participar en la evaluación continua podrá renunciar a ella oficialmente mediante un escrito dirigido al profesorado responsable que deberá entregar en un plazo máximo de 15 semanas desde el comienzo del cuatrimestre.



ORIENTACIONES PARA LA EVALUACIÓN FINAL:

Se realizará un examen escrito en la fecha de la Convocatoria ordinaria cuya calificación será el 100% de la nota.



CONSIDERACIONES A TENER EN CUENTA:

A la hora de evaluar se tendrá en cuenta:

En las pruebas escritas: la precisión y rigor en las definiciones, propiedades y razonamientos, la corrección en los resultados y en los desarrollos, la correcta utilización del lenguaje matemático y el método de razonamiento correcto (explicaciones claras, ordenadas y razonadas de los pasos seguidos y argumentos utilizados).

En las exposiciones y entrega de trabajos: la precisión y rigor en las definiciones, propiedades y razonamientos, la corrección en los resultados y en los desarrollos, el uso adecuado del lenguaje matemático tanto de forma escrita como oral y las justificaciones claras, ordenadas y razonadas de los argumentos utilizados.

Se realizará un examen escrito cuya calificación será el 100% de la nota.

Material y relaciones de problemas entregadas en clase y disponibles en el aula virtual de la asignatura.

Bibliografía básica

G.R. GRIMMETT, D.R. STIRZAKER, Probability and Random processes, Oxford Science Publications, 1992

A.F. KARR, Probability, Springer Verlag, 1993.

S.I. RESNICK, A Probability Path, Birkhäuser, 1999.

Bibliografía de profundización

P. BILLINGSLEY, Probability and Measure, Wiley, New York, 1986.
J. NEVEU, Martingales a temps discret, Dunod, 1972.
A. N. SHIRYAYEV, Probability, Springer-Verlag, New York, 1996.

Direcciones web

Aula virtual de apoyo a la docencia presencial: https://egela.ehu.eus/
Página web de probabilidad: https://www.stat.berkeley.edu/~jpopen/probweb/