En esta asignatura se estudia la estructura algebraica de anillo conmutativo, junto con otras derivadas de ella, a saber, las álgebras y los módulos. Se verán las propiedades principales de dichas estructuras, centrándose principalmente en los temas relativos a la factorización. Así, se dará una importancia especial a los dominios de factorización única y, en particular, a los anillos de polinomios sobre un cuerpo. Por otro lado, también se verán aplicaciones en otras áreas del álgebra, especialmente en el caso de los módulos sobre dominios de ideales principales.



Esta asignatura forma un módulo junto con las asignaturas "Estructuras Algebraicas" y "Ecuaciones Algebraicas". En este módulo se desarrollan los fundamentos del álgebra abstracta y sus principales aplicaciones. El estudiante adquirirá las técnicas básicas de esta área que le capacitarán para su utilización en otros campos de las matemáticas y le permitirán, si lo desea, afrontar un estudio más profundo del álgebra a través de las asignaturas optativas de cuarto curso.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS



M01CM04 Conocer los conceptos básicos de la teoría de anillos y cuerpos (subanillos, ideales, cocientes, homomorfismos, característica, cuerpo de cocientes,...).



M01CM05 Conocer las propiedades de divisibilidad de los polinomios en una y varias indeterminadas y, en particular, saber aplicar los principales criterios de irreducibilidad.



M01CM06 Saber construir bases de Gröbner de ideales de polinomios en varias indeterminadas y cómo se aplican, por ejemplo, para decidir si un polinomio pertenece a un ideal o para eliminar variables en sistemas de ecuaciones polinómicas.



M01CM07 Conocer los tipos de anillos conmutativos más importantes (íntegros, de factorización única, euclídeos y principales) y la relación entre ellos.



M01CM08 Conocer los conceptos básicos de la teoría de módulos sobre anillos.



M01CM09 Conocer el teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre anillos principales y sus aplicaciones (forma canónica de Jordan y forma de Smith).





RESULTADOS DE APRENDIZAJE



Conocer los conceptos básicos de la teoría de anillos y, en particular, de los anillos de polinomios en una y varias indeterminadas.



Conocer el teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre dominios de ideales principales y sus aplicaciones (forma normal de Smith, grupos abelianos finitamente generados, formas canónicas de endomorfismos).

1. GENERALIDADES SOBRE ANILLOS: Anillos y subanillos. Ideales y anillos cociente. Homomorfismos e isomorfismos.



2. DIVISIBILIDAD Y FACTORIZACIÓN EN ANILLOS: Dominios de factorización única. Dominios de ideales principales. Dominios euclídeos. Aplicaciones: algunos teoremas clásicos de aritmética.



3. POLINOMIOS EN VARIAS INDETERMINADAS: Lema de Gauss. Factorización en los anillos de polinomios. Criterios de irreducibilidad.



4. BASES DE GRÖBNER: Órdenes monomiales en el anillo de polinomios y el algoritmo división. Teorema de la base de Hilbert. Propiedades básicas de las bases de Gröbner. Algoritmo de Buchberger. Aplicaciones.



5. MÓDULOS: Módulos, primeras propiedades y ejemplos. Submódulos, módulos cociente. Homomorfismos de módulos. Sumas directas. Módulos libres.



6. MÓDULOS SOBRE DOMINIOS DE IDEALES PRINCIPALES: Módulos sobre dominios de ideales principales: anuladores y descomposición primaria. El teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre dominios de ideales principales. Matrices sobre dominios de ideales principales: forma normal de Smith. Aplicaciones: sistemas de ecuaciones lineales diofánticas, grupos abelianos finitamente generados y formas canónicas racional y de Jordan.

El contenido teórico se expondrá en clases magistrales siguiendo referencias básicas que figuran en la bibliografía y el material de uso obligatorio. Estas clases magistrales se complementarán con clases de problemas (prácticas de aula) en las que se propondrá a los alumnos resolver cuestiones con el propósito de aplicar los conocimientos adquiridos en las clases teóricas. En los seminarios se desarrollarán cuestiones y ejemplos representativos del contenido de la asignatura, que habrán sido facilitados con anterioridad a los alumnos para que puedan trabajarlos con tiempo suficiente. El día del seminario se fomentará la reflexión y discusión sobre las soluciones propuestas. Además, se propondrán problemas en grupo para promover el trabajo en equipo. Las soluciones de estos problemas se entregarán por escrito, para su evaluación por parte del profesor.



Una parte importante del trabajo del alumno es de carácter personal. Los profesores orientarán en todo momento ese trabajo y estimularán que se haga con regularidad y dedicación. Se animará igualmente a que utilicen las tutorías personales, donde pueden aclarar cualquier duda o dificultad que se les presente en la asignatura.

• Sistema de Evaluación Continua
• Sistema de Evaluación Final
• Herramientas y porcentajes de calificación:
  • Ver ORIENTACIONES (%): 100

CONVOCATORIA ORDINARIA



La nota final se obtendrá realizando la media ponderada de las siguientes calificaciones:



O1. Examen escrito final: 70-100%

O2. Examen escrito parcial: 0-10%

O3. Problemas o trabajos individuales (incluyendo la participación en los seminarios): 0-10%

O4. Problemas o trabajos en equipo: 0-10%



La nota mínima que es necesario obtener en el examen escrito final para poder aprobar la asignatura es de 4,5 puntos sobre 10.



La evaluación final consistirá en un examen de toda la asignatura. Peso 100%.



La asistencia a los seminarios es obligatoria, salvo causa justificada, que se deberá demostrar con el correspondiente documento.

CONVOCATORIA EXTRAORDINARIA



Para el cómputo de la calificación, se distinguen dos casos:



CASO A. Si la nota media no ponderada de los apartados O2, O3 y O4 en la convocatoria ordinaria es mayor o igual que 5.



CASO B. En caso contrario.



Para estudiantes que se encuentren en el caso A, la nota en la convocatoria extraordinaria será la media ponderada de las siguientes calificaciones:



Examen escrito de la convocatoria extraordinaria: 70%

Apartados O2, O3 y O4 de la convocatoria ordinaria: 10% en cada apartado



En este caso, será necesario obtener al menos 4,5 puntos en el examen escrito de la convocatoria extraordinaria.



Por otro lado, para estudiantes que se encuentren en el caso B, el 100% de la nota de la convocatoria extraordinaria corresponderá al examen escrito. Por lo tanto, será necesario obtener al menos 5 puntos en dicho examen.

Apuntes de clase. Relaciones de ejercicios y problemas propuestos.

Bibliografía básica

- M.F. ATIYAH, I.G. MACDONALD. Introducción al Álgebra Conmutativa. Reverté, 1973.



- P. CAMERON. Introduction to algebra. Oxford University Press, segunda edición, 2008.



- D. COX, J. LITTLE, D. O'SHEA. Ideals, Varieties and Algorithms. Springer, segunda edición, 1997.



- G. NAVARRO. Un Curso de Algebra. Universitad de Valencia, 2002.

Bibliografía de profundización

- N. JACOBSON. Basic Algebra. W.H. Freeman and Company, 1985.

- S. LANG. Undergraduate algebra. Springer, tercera edición, 2005.

- M. REID. Undergraduate Conmutative Algebra. Cambridge University Press, 1996.

- A. VERA. Introducción al Álgebra. (2 volúmenes). AVL, 1986.